Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

14+2+8=218
7-3+5+12=213
5+-2+4=83
6+2+-3=21

  1. Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен . Обозначаем полученную таблицу, как вектор .
  2. Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор .
  3. Теперь для нахождения корней уравнения, прежде всего, нам нужно отыскать матрицу, обратную существующей. К счастью, в Эксель имеется специальный оператор, который предназначен для решения данной задачи. Называется он . Он имеет довольно простой синтаксис:

    =МОБР(массив)

    Аргумент — это, собственно, адрес исходной таблицы.

    Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке , расположенную около строки формул.

  4. Выполняется запуск . Переходим в категорию . В представившемся списке ищем наименование . После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку .
  5. Запускается окно аргументов функции . Оно по числу аргументов имеет всего одно поле – . Тут нужно указать адрес нашей таблицы. Для этих целей устанавливаем курсор в это поле. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем область на листе, в которой находится матрица. Как видим, данные о координатах размещения автоматически заносятся в поле окна. После того, как эта задача выполнена, наиболее очевидным было бы нажать на кнопку , но не стоит торопиться. Дело в том, что нажатие на эту кнопку является равнозначным применению команды . Но при работе с массивами после завершения ввода формулы следует не кликать по кнопке , а произвести набор сочетания клавиш . Выполняем эту операцию.
  6. Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.
  7. Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу , которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется . Данный оператор имеет следующий синтаксис:

    =МУМНОЖ(Массив1;Массив2)

    Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем , нажав значок .

  8. В категории , запустившегося , выделяем наименование и жмем на кнопку .
  9. Активируется окно аргументов функции . В поле заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле , только на этот раз выделяем значения колонки . После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку или клавишу , а набираем комбинацию клавиш .
  10. После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: , , и . Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

3x^2+4x-132=0

  1. Принимаем значение за равное . Высчитываем соответствующее для него значение , применив следующую формулу:

    =3*x^2+4*x-132

    Вместо значения подставляем адрес той ячейки, где расположено число , принятое нами за .

  2. Переходим во вкладку . Жмем на кнопку . Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов . Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию .
  3. Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле указываем адрес ячейки, в которой находится формула , рассчитанная нами чуть ранее. В поле вводим число . В поле указываем адрес ячейки, в которой расположено значение , ранее принятое нами за. После выполнения данных действий жмем на кнопку .
  4. После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку .
  5. Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле . В нашем случае, как видим, будет равен.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения .

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в :

14+2+8=218
7-3+5+12=213
5+-2+4=83
6+2+-3=21

  1. Как и в первом способе, составляем матрицу из коэффициентов уравнений и таблицу из значений, которые стоят после знака .
  2. Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы , только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу . У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.
  3. Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – . Синтаксис данного оператора следующий:

    =МОПРЕД(массив)

    Таким образом, как и у функции , единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

    Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку .

  4. Активируется окно . Переходим в категорию и среди списка операторов выделяем там наименование . После этого жмем на кнопку .
  5. Запускается окно аргументов функции . Как видим, оно имеет только одно поле – . В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку . Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш .
  6. Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен , то есть, не является равным нулю, что нам подходит.
  7. Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.
  8. На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.
  9. Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число , которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям , , и . Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в , что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

14+2+8=110
7-3+5=32
5+-2=17

  1. Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу , а свободные члены, расположенные после знака — в таблицу . Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.
  2. Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

    =B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)

    Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

    После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш . К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

  3. После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.
  4. Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку , которая расположена на ленте во вкладке .
  5. Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт . В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию .
  6. В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

    =B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)

    После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш .

  7. Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

    =B17:E17/D17

    Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш .

  8. Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

    =(B16:E16-B21:E21*D16)/C16

    Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

  9. Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

    =(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15

    Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш .

  10. Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (, и ) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений , и в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Помимо этой статьи, на сайте еще 13048 полезных инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам. Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Источник: starhit
Читайте также  Восстановление удаленных изображений на Android

Домашние хитрости